数学がわからない

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複素指数信号の集合の直交性

信号処理

複素指数信号の集合 {e^{jk\omega_0t}(k=0,\pm1,\pm2,\cdots)}がもつ直交性の式（次式）を検算する。
\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{jk\omega_0t}e^{-jl\omega_0t} dt = \left\{ \begin{array}{} 1 & (k = l)\\ 0 & (k \not= l)\\ \end{array} \right. \tag{1} \end{eqnarray}

ここで、Tは周期（単位[s]）、\omega_0は基本角周波数（単位[rad/s]）であり、次の関係がある。
\omega_0=\displaystyle\frac{2\pi}{T} \tag{2}

検算

まず、次のように変形する。
\begin{align} \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{jk\omega_0t}e^{-jk\omega_0t} dt & = \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j(k-l)\omega_0t} dt \\ \tag{3} \end{align}

そして、場合に分けて確認していく。

k=lのとき

k-l=0であるから、

\begin{align} \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j(k-l)\omega_0t} dt & = \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^0 dt \\ & = \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} 1 dt \\ & = \displaystyle\frac{1}{T} [t]_{-T/2}^{T/2} \\ & = \displaystyle\frac{1}{T} \{\frac{T}{2} - (-\frac{T}{2})\} \\ & = \displaystyle\frac{1}{T} \cdot T \\ & = 1 \tag{4} \end{align}

k\not=lのとき

k-lをn\not=0として、

\begin{align} \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j(k-l)\omega_0t} dt & = \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{jn\omega_0t} dt \\ & = \displaystyle\frac{1}{T} \cdot \displaystyle\frac{1}{jn\omega_0} [e^{jn\omega_0t}]_{-T/2}^{T/2} \\ \tag{5} \end{align}

以下[e^{jn\omega_0t}]_{-T/2}^{T/2}について計算する。式(2)より、

\begin{align} [e^{jn\omega_0t}]_{-T/2}^{T/2} & = [e^{jn2\pi/Tt}]_{-T/2}^{T/2} \\ & = (e^{jn 2\pi/T \cdot T/2} - e^{jn 2\pi/T \cdot (-T/2)} ) \\ & = (e^{jn \pi} - e^{-jn \pi} ) \\ \tag{6} \end{align}

オイラーの公式「 e^{j\theta}=\cos{\theta}+j\sin{\theta}」により

\begin{align} (e^{jn \pi} - e^{-jn \pi} ) & = \{(\cos{n \pi} + j\sin{n \pi}) - (\cos{n \pi} - j\sin{n \pi}) \} \\ & = (2j\sin{n \pi}) \\ \tag{7} \end{align}

nは整数なので、\sin{n \pi}=0。すなわち、
\begin{align} \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j(k-l)\omega_0t} dt = 0 \tag{8} \end{align}

参考文献

基本を学ぶ 信号処理

基本を学ぶ 信号処理