数学がわからない

日々の勉強をアウトプットする。

統計量と推定量

統計 数式

統計量（および推定量）に関してまとめる。

  • 標本に関する統計量（標本平均、標本分散、標本標準偏差）
  • 母集団に関する統計量（母平均、母分散、母標準偏差）
  • 母集団の不偏推定量（不偏平均、不偏分散、不偏標準偏差）

標本、母、不偏推定量別に覚えるのではなく、平均、分散、標準偏差別に、それぞれの違いを整理するのが良い。

平均 分散 標準偏差
標本に関する統計量 \bar{x}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}}{n}} s^{2}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}{n} s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}{n}}
母集団に関する統計量 \mu=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}}{n}} \sigma^{2}=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}{n} \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}=\sqrt{\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2}{n}}
母集団の不偏推定量 \hat{\mu}=\displaystyle{\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}x_{i}}}{n}} \hat{\sigma}^{2}=\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\hat{\mu})^2}{n-1} \hat{\sigma}=\sqrt{\hat{\sigma}^{2}}=\sqrt{\displaystyle\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\hat{\mu})^2}{n-1}}

平均（標本平均、母平均、不偏平均）

計算方法はすべて同じ。 

多くの問題では母平均を求めたいのだが、一般に母集団すべてのデータを収集することはできないため母平均そのものは計算できない。 そこで、母平均を推定した値である不偏平均を求める。その計算方法は標本平均の計算方法と同じ。

分散（標本分散、母分散、不偏分散）

標本分散、母分散の分母はn、不偏分散の分母がn-1であることが異なる。

平均と同じく、多くの問題では母分散を求めたいのだが、一般に母集団すべてのデータを収集することはできないため母分散は計算できない。 そこで、母分散を推定した値である不偏分散を求める。ただし、平均と異なり不偏分散は標本分散と微妙に異なる。

標準偏差（標本標準偏差、母標準偏差、不偏標準偏差）

それぞれ対応する分散（標本分散、母分散、不偏分散）の平方根である。

参考文献

入門　統計学 ?検定から多変量解析・実験計画法まで?

入門　統計学 ?検定から多変量解析・実験計画法まで?