オイラーの公式と逆公式 - 数学がわからない

オイラーの公式

$\begin{align} e^{j \theta} &= \cos{\theta} + j \sin{\theta}\\ \end{align} \tag{1}$

$\theta$ の正負を変えると、 $\cos$ は偶関数、 $\sin$ は奇関数であるから、

$\begin{align} e^{j (-\theta)} &= \cos{(-\theta)} + j \sin{(-\theta)}\\ &= \cos{\theta} - j \sin{\theta}\\ \end{align} \tag{2}$

となる。この性質が次のオイラーの逆公式につながる。

オイラーの逆公式

式(1)、(2)の両辺の和をとると $\cos$ と複素指数との関係が得られる。

$\begin{align} e^{j\theta} + e^{-j \theta} &= \cos{\theta} + \cos{\theta} + j \sin{\theta} - j \sin{\theta}\\ e^{j\theta} + e^{-j \theta} &= 2 \cos{\theta}\\ \cos{\theta} &= \displaystyle \frac{e^{j\theta} + e^{-j \theta}}{2}\\ \end{align} \tag{3}$

同様に、式(1)、(2)の両辺を差分すると $\sin$ と複素指数との関係が得られる。

$\begin{align} e^{j\theta} - e^{-j \theta} &= \cos{\theta} - \cos{\theta} + j \sin{\theta} - ( -j \sin{\theta})\\ e^{j\theta} - e^{-j \theta} &= 2 j\sin{\theta}\\ \sin{\theta} &= \displaystyle \frac{e^{j\theta} - e^{-j \theta}}{2j}\\ \end{align} \tag{4}$

式(3),(4)を覚えるよりも、式(1)だけ覚えて導出できるようになっておくのがいいのだろう。