正弦波信号の和から複素指数形フーリエ級数へ

ここでは、正弦波信号の和で表されるフーリエ級数の式を複素指数形フーリエ級数の式に変形する。

正弦波信号の和

周期を $T$ [s]とする任意の信号 $x_T(t)$ は正弦波信号の和に分解できる。

$\begin{align} x_T(t) &= A_0 + A_1 \cos{(\omega_0 t + \theta_1)} + A_2 \cos{(2\omega_0 t + \theta_2)} + \cdots\\ &= A_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_n \cos{(n\omega_0 t + \theta_n)}\\ \end{align} \tag{1}$

ここで、 $A_0$ は直流成分、 $A_n \cos{(n\omega_0 t + \theta_n)}$ は第n高調波（n=1は基本波）である。
さらに、 $A_n, \theta_n$ はそれぞれ第n高調波の振幅と位相である。 $\omega_0$ は基本波の角周波数（基本角周波数）であり、周期 $T$ を用いて次式で定義される。

$\omega_0 = \displaystyle \frac{2\pi}{T} (rad/s) \tag{2}$

複素指数形フーリエ級数への変形

オイラーの逆公式を用いて、式(1)の $\cos$ を複素指数に置き換える。

$\begin{align} x_T(t) &= A_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_n \cos{(n\omega_0 t + \theta_n)}\\ &= A_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_n \displaystyle \frac{1}{2} (e^{j(n\omega_0 t + \theta_n)} + e^{-j(n\omega_0 t + \theta_n)})\\ \end{align} \tag{3}$

複素指数からフェーザ $Ae^{j\theta}$ を分離し、さらに変形する。

$\begin{align} x_T(t) &= A_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_n \displaystyle \frac{1}{2} (e^{j(n\omega_0 t + \theta_n)} + e^{-j(n\omega_0 t + \theta_n)})\\ &= A_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_n \displaystyle \frac{1}{2} (e^{jn\omega_0 t} e^{j\theta_n} + e^{-jn\omega_0 t} e^{-j\theta_n})\\ &= A_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (\displaystyle \frac{A_n}{2} e^{j\theta_n} e^{jn\omega_0 t} + \displaystyle \frac{A_n}{2} e^{-j\theta_n} e^{-jn\omega_0 t})\\ \end{align} \tag{4}$

ここで、次のようなフーリエ係数 $c_n$ を導入する。

$c_n = \left\{ \begin{array}{} A_0 & (n=0)\\ \displaystyle \frac{1}{2} A_n e^{j\theta n} & (n>0)\\ \displaystyle \frac{1}{2} A_{-n} e^{j\theta n} = c_{-n} = \bar{c}_n & (n<0) \end{array} \right. \tag{5}$

式(4)を式(5)を用いて表す。

$\begin{align} x_T(t) &= A_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (\displaystyle \frac{A_n}{2} e^{j\theta_n} e^{jn\omega_0 t} + \displaystyle \frac{A_n}{2} e^{-j\theta_n} e^{-jn\omega_0 t})\\ &= c_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (c_n e^{jn\omega_0 t} + c_{-n} e^{-jn\omega_0 t})\\ &= c_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n e^{jn\omega_0 t} + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_{-n} e^{-jn\omega_0 t}\\ &= c_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty c_n e^{jn\omega_0 t} + \displaystyle \sum_{n=-\infty}^{-1} c_{n} e^{jn\omega_0 t}\\ &= \displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{jn\omega_0 t} \end{align} \tag{6}$