異なるフーリエ級数の形式 - 数学がわからない

フーリエ級数について勉強中、参考文献[1][2]で異なるフーリエ級数が記載されていて混乱した。
参考文献[1]のフーリエ級数（実フーリエ級数）は次式である。

$f(t) = \displaystyle \frac{a_0}{2} +\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (a_n \cos{ n \omega_0 t } + b_n \sin{ n \omega_0 t }) \tag{1}$

ウィキペディアで調べてもこの形。 $a_n, b_n$ は実フーリエ係数と呼ばれるもので、次式で定義される。

$a_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(t) \cdot \cos{n \omega_0 t} dt \qquad (n=0,1,2,\cdots) \tag{1a}$

$b_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(t) \cdot \sin{n \omega_0 t} dt \qquad (n=1,2,\cdots) \tag{1b}$

一方、参考文献[2]のフーリエ級数は次式で、正弦波信号の和の形である。

$\begin{align} x_T(t) &= A_0 + A_1 \cos{(\omega_0 t + \theta_1)} + A_2 \cos{(2\omega_0 t + \theta_2)} + \cdots\\ &= A_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_n \cos{(n\omega_0 t + \theta_n)}\\ \end{align} \tag{2}$

ここでは、以上の2つの式が一致することを確かめる。

ふたつの式の形を近付ける

まず、式(2)を変形して式(1)に近付ける。まず記号 $\sum$ を使って総和形式にし、三角関数の加法定理でcosを分解、最後に式(1)に近づけるべく順番を入れ替える。

$\begin{align} x_T(t) &= A_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_n \cos{(n\omega_0 t + \theta_n)}\\ &= A_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (A_n \cos{n\omega_0 t} \cdot \cos{\theta_n} - A_n \sin{n\omega_0 t} \cdot \sin{\theta_n}) \\ &= A_0 + \displaystyle \sum_{n=1}^\infty (A_n \cos{\theta_n} \cdot \cos{n\omega_0 t} - A_n \sin{\theta_n} \cdot \sin{n\omega_0 t}) \end{align} \tag{2'}$

かなり式(1)に近付いた。あとは次を示すことができれば、式(2)は式(1)に一致するといえる。

$\begin{align} A_0 &= \displaystyle \frac{a_0}{2} = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(t) \cdot \cos{0} dt \qquad\\ A_n \cos{\theta_n} &= a_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(t) \cdot \cos{n \omega_0 t} dt \qquad (n=1,2,\cdots) \\ A_n \sin{\theta_n} &= b_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(t) \cdot \sin{n \omega_0 t} dt \qquad (n=1,2,\cdots) \end{align} \tag{3}$

右辺のフーリエ係数 $a_n, b_n$ は、信号 $f(x)$ にそれぞれ余弦関数、正弦関数をかけて積分したものである。
しかし、左辺に信号 $f(x)$ は影も形もないので途方に暮れそうになる。

振幅と位相を信号を用いて表す

そもそも式(2)は、信号 $x_T(t)$ を、振幅 $A_n$ と位相 $\theta_n$ を用いて表した式である。
逆に、振幅 $A_n$ と位相 $\theta_n$ を、信号 $x_T(t)$ を用いて表せば、式(3)を示すことになる。

手順は、

1. 式(2)を複素指数形に変換し、 $c_k$ と $A, \theta$ の関係を取得する。
gyokan.hatenablog.com
$c_n = \left\{ \begin{array}{} A_0 & (n=0)\\ \displaystyle \frac{1}{2} A_n e^{j\theta n} & (n>0)\\ \displaystyle \frac{1}{2} A_{-n} e^{j\theta n} = c_{-n} = \bar{c}_n & (n<0) \end{array} \right. \tag{4}$

2. 複素フーリエ係数 $c_k$ を実フーリエ係数 $a_k,b_k$ で表す。
gyokan.hatenablog.com

$c_n = \left\{ \begin{array}{} \displaystyle \frac{1}{2} a_0 & (n=0)\\ \displaystyle \frac{1}{2} a_n - j \displaystyle \frac{1}{2} b_n & (n>0)\\ \displaystyle \frac{1}{2} a_{-n} + j \displaystyle \frac{1}{2} b_{-n} & (n<0) \end{array} \right. \tag{5}$

3. 式（３）を示す。

式（４）と式（５）が一致するので、
$\begin{align} A_0 &= \displaystyle \frac{a_0}{2} \qquad (n=0)\\ \displaystyle \frac{1}{2} A_n e^{j\theta n} &= \displaystyle \frac{1}{2} a_n - j \displaystyle \frac{1}{2} b_n \qquad (n>0) \\ \displaystyle \frac{1}{2} A_{-n} e^{j\theta n} &= \displaystyle \frac{1}{2} a_{-n} + j \displaystyle \frac{1}{2} b_{-n} \qquad (n<0) \\ \end{align} \tag{6}$