複素フーリエ係数と実フーリエ係数

「はじめての応用数学ラプラス変換・フーリエ変換編」では、複素指数形フーリエ級数からフーリエ係数を取得 - 数学がわからないのフーリエ係数は、「複素フーリエ係数」という名前で実フーリエ係数と区別されている。

複素フーリエ係数

$c_{n} = \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-jn\omega_0t} dt \tag{1}$

実フーリエ係数

$a_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(t) \cdot \cos{n \omega_0 t} dt \qquad (n=0,1,2,\cdots) \tag{2a}$

$b_n = \displaystyle \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^\frac{T}{2} f(t) \cdot \sin{n \omega_0 t} dt \qquad (n=1,2,\cdots) \tag{2b}$

ここでは、このふたつの式の関係をみてみる。

式変形

まず、式（１）をオイラーの公式を用いて変形する。
$\begin{align} c_{n} &= \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t)e^{-jn\omega_0t} dt\\ &= \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) (\cos{n\omega_0t} - j \sin{n\omega_0t}) dt\\ &= \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos{n\omega_0t} dt - j\displaystyle\frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \sin{n\omega_0t} dt\\ \end{align} \tag{3}$

式（2）で置き換えると、
$\begin{align} c_{n} &= \displaystyle\frac{1}{2} a_n - j\displaystyle\frac{1}{2} b_n\\ \end{align} \tag{4}$

この通り、 $c_n$ を $a_n$ と $b_n$ を用いて表すことができる。

逆に $a_n$ と $b_n$ を $c_n$ を用いて表すには次のようにする。
まず、 $b_n$ が偶関数、 $c_n$ が奇関数であることから、

$\begin{align} c_{-n} &= \displaystyle\frac{1}{2} a_{-n} - j\displaystyle\frac{1}{2} b_{-n}\\ &= \displaystyle\frac{1}{2} a_{n} + j\displaystyle\frac{1}{2} b_{n}\\ \end{align} \tag{5}$