複素指数形フーリエ級数からフーリエ係数を取得

ここでは、複素指数形フーリエ級数からフーリエ係数を取得する式を導出する。

前提

複素指数形フーリエ級数は次のように定義されている。

$x_T(t)=\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k} e^{jk \omega_0 t} \tag{1}$

この式（１）からフーリエ係数 $c_k$ を取り出すには、複素指数信号の集合の直交性（式（２））を用いる。

$\begin{eqnarray} \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{jk\omega_0t}e^{-jl\omega_0t} dt = \left\{ \begin{array}{} 1 & (k = l)\\ 0 & (k \not= l)\\ \end{array} \right. \tag{2} \end{eqnarray}$

式の変形

式（１）に式（２）の性質を適用するために、式（１）の形を式（２）に近づけていく。まず、式（１）の両辺に $e^{-jl\omega_0t}$ をかける。

$x_T(t)e^{-jl\omega_0t}=\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k} e^{jk \omega_0 t}e^{-jl\omega_0t} \tag{3}$

続いて、両辺を $-T/2$ から $T/2$ の範囲で積分し、 $T$ で割る。

$\displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x_T(t)e^{-jl\omega_0t} dt= \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k} e^{jk \omega_0 t}e^{-jl\omega_0t} dt \tag{4}$

さらに式（４）の右辺の $\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k}$ を積分の外に出す。

$\displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x_T(t)e^{-jl\omega_0t} dt= \displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_{k} \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{jk \omega_0 t}e^{-jl\omega_0t} dt \tag{5}$

これにより、式（５）の右辺に、式（２）の左辺と全く同じ形が出現した。式（５）の右辺は、 $\sum$ を用いずに書くと

$\cdots c_{l-1} + \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j(l-1) \omega_0 t}e^{-jl\omega_0t} dt + c_l \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{jl \omega_0 t}e^{-jl\omega_0t} dt + c_{l+1} \displaystyle\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{j(l+1) \omega_0 t}e^{-jl\omega_0t} dt + \cdots \tag{6}$